发烧指的是发热，三岁宝宝发热38.7℃睡着了可能是发热时间过久、发热温度过高、机体消耗过大等原因引起的，也可能与宝宝发生了上呼吸道感染、小儿肺炎等疾病有关，建议家长尽快带宝宝前往医院求助医生，在医生指导下查明具体引起原因，针对引起发热的原因进行治疗。
1、发热时间过久：如果宝宝发热的情况持续时间过久，可能会导致机体运转受到影响，从而出现睡着的情况，此时家长应尽快在医生指导下给宝宝使用布洛芬混悬液、对乙酰氨基酚片等药物进行降温。
2、发热温度过高：一般三岁宝宝腋下的正常体温应在37℃左右，当体温上升至38.7℃时，宝宝可因体温过高出现嗜睡的现象，家长应尽快通过物理降温、服用降温药等方式缓解该现象。
3、机体消耗过大：由于机体在发热的过程中会消耗过多的能量，此时宝宝可因机体消耗过大出现体力不足嗜睡的情况，此时家长需尽快为宝宝提供能量，比如喝水、喝奶等。
4、上呼吸道感染：是一种常见的呼吸系统炎症性疾病，如果宝宝在发热期间同时出现了打喷嚏、流鼻涕等症状，可能与上呼吸道感染有关，通常可遵医嘱使用阿莫西林颗粒、阿奇霉素干混悬剂对宝宝进行治疗。
5、小儿肺炎：是一种与病原体感染有关的肺部疾病，该疾病的患儿可出现发热、嗜睡等症状，严重时还可出现呼吸困难、气促等现象，家长需尽快在医生指导下给宝宝使用头孢克肟颗粒、注射用青霉素钠等药物进行治疗。
出现发热的宝宝家长在日常生活中应注意加强宝宝保暖措施，多给宝宝喝一些白开水，帮助补充机体所流失的水分，有助于宝宝尽快恢复健康。